Zeige, dass der Paraboloid $M$ eine Untermannigfaltigkeit in ${\mathbb{R}}^3$ ist.

-> Da Paraboloid 2-dimensional: $U={\mathbb{R}}^3,V={\mathbb{R}}^2$

1. direkte Definition (9.17)

Sei

Da $f$ ein Polynom ist, ist $f$ glatt.
=> Da $\mathrm{\forall }(x_0,y_0,z_0)\in M\cap U=M=\text{gr}(f)$, ist $M$ eine 2-dimensionale $C^{\mathrm{\infty }}$ UMF in ${\mathbb{R}}^3$. $◻$

2. $C_k$-Einbettung (9.30)

Sei

Da $\psi$ Polynome als Komponenten hat, ist $\psi$ glatt.
Falls $\psi (u_1,v_1)=\psi (u_2,v_2)⟹(u_1,v_1,u_1^2+v_1^2)=(u_2,v_2,u_2^2+v_2^2)⟹u_1=u_2,v_1=v_2$
=> $\psi$ ist eine glatte, injektive Abbildung
=> Da $d\psi$ vollen Rang hat, ist $\psi$ eine Immersion
${\psi }^{-1}$ ist stetig (in Vorlesung gezeigt (?))
=> $\psi$ ist eine glatte Einbettung
=> Da $M\cap U=\psi (V)$, ist M eine 2-dimensionale $C^{\mathrm{\infty }}$ UMF in ${\mathbb{R}}^3$. $◻$

3. Satz vom regulären Wert (9.34):

Sei

Da $g$ ein Polynom ist, ist $g$ glatt.
Da $\mathrm{\forall }(x,y,z):dg(x,y,z)\ne 0$, ist $g$ surjektiv $\mathrm{\forall }(x,y,z)$
=> Da $g$ eine Submersion ist $\mathrm{\forall }$ Punkte in $g^{-1}(0)$, ist $0$ ein regulärer Wert
=> Da $M$ Urbild von $g^{-1}(0)$, ist $M$ eine 2-dimensionale $C^{\mathrm{\infty }}$ UMF in ${\mathbb{R}}^3$. $◻$