HS2024_LinAlg_Prüfung

3)a)

Die Dimensionen von $A$ entsprechen den Dimensionen von $Σ$ , also $4 \times 3$ .
Der Rang von $A$ ist die Anzahl von Singulärwerten $\neq 0$ , also $2$ .
Die 2-Norm von $A$ ist der grösste Singulärwert, also $2$ .

3)b)
Jede Matrix $A$ kann mit der Singulärwertzerlegung als eine Summe von Rang-1-Matrixen geschrieben werden:

A = \sum_{i = 1}^{n} σ_{i} u_{i} v_{i}^{⊤}

da es zwei Singulärwerte $\neq 0$ hat:

\begin{aligned} A & = σ_{1} u_{1} v_{1}^{⊤} + σ_{2} u_{2} v_{2}^{⊤} \\ = 2 \cdot (\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}]) \cdot (\frac{1}{3} [\begin{array}{c} 2 & - 2 & 1 \end{array}]) + 2 \cdot (\frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{array}]) \cdot (\frac{1}{3} [\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \end{array}]) \\ = \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 2 & - 2 & 1 \\ 2 & - 2 & 1 \\ 2 & - 2 & 1 \\ 2 & - 2 & 1 \end{array}] + \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 1 & 2 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 2 \\ - 1 & - 2 & - 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{array}] \end{aligned}

Bemerkung: Die Aufgabenstellung mit "16 Speicherplätzen" ist nicht ganz klar. Es könnte nach mehreren Sachen gefragt werden:

erster versuch: hier habe ich die spalten von $V$ und $V^{⊤}$ vertauscht:

\begin{aligned} A & = σ_{1} u_{1} v_{1}^{⊤} + σ_{2} u_{2} v_{2}^{⊤} \\ = 2 \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{array}] + 2 \cdot [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} - \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{array}] \\ = \frac{1}{3} \cdot [\begin{array}{c} 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{array}] + \frac{1}{3} \cdot [\begin{array}{c} - 2 & 2 & 1 \\ 2 & - 2 & - 1 \\ 2 & - 2 & - 1 \\ - 2 & 2 & 1 \end{array}] \\ = \frac{1}{3} \cdot [\begin{array}{c} 0 & 3 & 3 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 4 & - 1 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{array}] \end{aligned}

4)b)

Die einzige Lösung der Gleichung

a (1 - t) + b (2 t) + c (2 + 3 t - t^{2}) + d (4 t^{3}) = 0

muss $a = b = c = d = 0$ sein.

\begin{aligned} ⟺ a - a t + 2 b t + 2 c + 3 c t - c t^{2} + 4 d t^{3} = 0 \\ ⟺ 4 d t^{3} - c t^{2} + (2 b - a + 3 c) + (a + 2 c) = 0 \end{aligned}

daraus folgt:

\begin{aligned} ⟹ d = 0, c = 0 \\ ⟹ (a + 2 c) = (a + 2 \cdot 0) = 0 ⟹ a = 0 \\ ⟹ (2 b - a + 3 c) = (2 b - 0 + 3 \cdot 0) = 0 ⟹ b = 0 \end{aligned}

Daher sind $1 - t$ , $2 t$ , $2 + 3 t - t^{2}$ , $4 t^{3}$ linear unabhängig.

Da $P_{4}$ Dimension 4 hat, und wir 4 linear unabhängige Polynome haben, bilden die Polynome eine Basis in $P 4$ .